神经网络的逼近能力与数值稳定性如何受到激活函数和参数分布的影响，是理解其数学性质与设计计算方法的基础。本报告围绕浅层 ReLU 神经网络，介绍 Sobolev 函数逼近、矩阵谱分析及逼近饱和现象方面的研究。首先，当内层参数预先固定并满足适当的几何分布条件时，仅优化外层线性系数仍可在一定光滑性范围内达到最优逼近阶，为将非凸训练转化为线性求解提供理论依据。其次，研究球面上线性化网络的质量矩阵与刚度矩阵，给出特征值和条件数的定量估计，揭示参数分布、激活函数阶数与数值稳定性之间的关系。进一步讨论固定内层参数所产生的逼近饱和现象，说明目标函数光滑性的提高并不总能带来更快的收敛，并比较固定参数网络与可调参数网络的逼近能力。最后，介绍将相关工作推广到一般有界区域的近期进展，讨论 ReLU 网络的逼近性质与稳定性，以及这些结果对离散最小二乘和神经网络偏微分方程数值方法的意义。
